20210924 UTS MA2151¶

Soal nomor 1¶

Untuk menghitung $f(x)=\sin(x)$ dapat dihampiri dengan menghitung deret $S_n(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^{\frac{n-1}{2}}\frac{x^n}{n!}$, dengan $n$ adalah bilangan ganjil.

Buatlah algoritma untuk menghampiri nilai $f(x)=\sin(x)$, dengan masukkan $x$ bilangan real dan menggunakan deret di atas, sampai suku ke $k$ yang memenuhi $\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}<10^{-6}$.

• Tanpa menggunakan variabel berindex/array.
• Fungsi faktorial boleh digunakan

Jawaban Soal Nomor 1 Algoritma menghampiri $sin(x)$ dengan mengunakan deret

• Deskripsi : Algoritma menghampiri nilai sin(x) dengan mengunakan deret
• Masukkan : masukkan bilangan real x, dan galat yang diinginkan galat=0.000001
• Keluaran : hampiran nilai sin(x)
• Langkah-langkah :
  1. masukkan bilangan real x
  2. masukkan galat galat=0.000001
  3. deklarasikan variabel untuk menyimpan jumlahan deret sum=0,
  4. deklarasikan i=1 sebagai variabel pangkat dan pembagi faktorial dari deret
  5. deklarasikan index iterasi, iter=1
  6. deklarasikan maksimum iterasi untuk penghenti apabila program terlalu lama, max_iter=100000
  7. deklarasikan variabel boolean untuk masuk kedalam iterasi while, stop=False
  8. ketika/while stop=False dan iter<=max_iter:
     1. Hitung suku=(x**i)/faktorial(i)
     2. jika suku>galat:
        • sum=sum+suku*(-1)**((i-1)/2) #jumlahkan deretnya
     3. jika tidak (else):
        • stop=True #untuk menghentikan iterasi
     4. i=i+2 #untuk menghitung suku berikutnya
     5. iter=iter+1 #untuk menandakan banyak iterasi yang sudah dilakukan
  9. keluarkan hasilnya | print("hampiran sin(",x,") =",sum)

In [ ]:

#Hampiran sin(x)
def faktorial(n):  
    return 1 if (n==1 or n==0) else n * faktorial(n - 1);

print("Masukkan bilangan real x yang akan dihitung nilai sin nya")
x=float(input())
stop=False
error=0.000001
sum=0
i=1
iter=1
max_iter=1000
while stop==False and i<=max_iter:
  suku=x**i/faktorial(i)
  if suku>error:
    sum=sum+suku*(-1)**((i-1)/2)
  else:
    stop=True
  i=i+2
  iter=iter+1
print("Hampiran sin(",x,")=",sum)

Masukkan bilangan real x yang akan dihitung nilai sin nya
3.14
Hampiran sin( 3.14 )= 0.0015918867417265136

Soal Nomor 2¶

Definisikan jarak antar kata adalah banyaknya karakter yang berbeda antara kata pertama dan kata kedua di setiap posisi karakter tersebut. Contoh

• "saya" dan "sayang" memiliki jarak 2, karena terdapat 2 karakter yang berbeda di posisi 5 dan 6
• "saya" dan "bayam" memiliki jarak 2, karena terdapat 2 karakter yang berbeda di posisi 1 dan 5
• "aku" dan "kamu" memiliki jarak 4, karena terdapat 4 karakter yang berbeda di posisi 1,2,3 dan 4.

Diberikan L= list berisi 100 buah kata (misalkan list kata tersebut sudah tersedia), buatlah algoritma untuk mengeluarkan kata yang paling dekat dengan kata "komputasi" pada list tersebut.

• apabila ada lebih dari 1 kata yang memiliki jarak terdekat yang sama, maka keluarkan semua kata tersebut.

Jawaban Soal Nomor 2 Algoritma mencari kata "terdekat"

• Deskripsi : Algoritma mencari kata terdekat
• Masukkan : List database kata, dan kata yang ingin dicek
• Keluaran : kata-kata yang terdekat
• Langkah-langkah :
  1. masukkan L=list kata, misalkan kata pada L ada sebanyak $n$.
  2. masukkan cek_kata=kata yang ingin dicek
  3. buat list tempat penyimpanan jarak antar kata, misalkan nama variabelnya simpan_jarak
  4. untuk setiap $i\in \{1,2,3,...,n\}$
     1. hitung jarak antara cek_kata dan L[i] dengan fungsi hitung_jarak
     2. simpan_jarak[i] adalah jarak cek_kata dengan L[i]
  5. misalkan idx={idx_1,idx_2,...,idx_k} adalah himpunan index yang jaraknya paling kecil pada simpan_jarak, idx didapat dari fungsi index_min
  6. untuk setiap $j\in$idx
     • keluarkan L[j], print(L[j])

Fungsi maks : Algoritma mendapat bilangan yang lebih besar

• Deskripsi : Algoritma mendapat bilangan yang lebih besar
• Masukkan : dua buah bilangan real
• Keluaran : bilangan yang lebih besar
• Langkah-langkah :
  1. masukkan bilangan real a dan b
  2. jika a>b, kembalikan a
  3. jika tidak (else), kembalikan b

Fungsi mins : Algoritma mendapat bilangan yang lebih kecil

• Deskripsi : Algoritma mendapat bilangan yang lebih kecil
• Masukkan : dua buah bilangan real
• Keluaran : bilangan yang lebih kecil
• Langkah-langkah :
  1. masukkan bilangan real a dan b
  2. jika a>b, kembalikan a
  3. jika tidak (else), kembalikan b

Fungsi hitung_jarak : Algoritma hitung jarak antar kata

• Deskripsi : Algoritma hitung jarak antar kata
• Masukkan : dua buah kata, kata1 dan kata2
• Keluaran : jarak
• Langkah-langkah :
  1. misalkan a adalah panjang kata1 dan b adalah panjang kata2
  2. misalkan jarak=0
  3. untuk setiap $i\in\{1,2,...,min(a,b)\}$
     • jika kata1[i]! (huruf ke i dari kata1) tidak sama dengan kata2[i] (huruf ke i dari kata1)
       • jarak=jarak+1
  4. karakter sisa tidak perlu diabndingkan, pasti berbeda, jadi jarak=jarak+(maks(a,b)-mins(a,b))
  5. kembalikan jarak

Fungsi mins_list : Algoritma mendapatkan elemen terkecil dari list

• Deskripsi : Algoritma mendapatkan elemen terkecil dari list
• Masukkan : list bilangan
• Keluaran : elemen terkecil
• Langkah-langkah :
  1. misalkan lista adalah list bilangan
  2. misalkan mini adalah elemen pertama lista, mini=lista[1]
  3. misalkan n=banyak elemen dari lista
  4. untuk setiap $i\in\{1,2,...,n\}$
     • jika mini>lista[i]
       • timpa mini=lista[i]
  5. kembalikan mini

Fungsi index_min : Algoritma mendapatkan index dari list yang memiliki elemen terkecil

• Deskripsi : Algoritma mendapatkan index dari list yang memiliki elemen terkecil
• Masukkan : list bilangan
• Keluaran : list index elemen terkecil
• Langkah-langkah :
  1. misalkan lista adalah list bilangan
  2. misalkan mini adalah elemen terkecil dari lista, dicari dengan fungsi mins_list
  3. misalkan n=banyak elemen dari lista
  4. misalkan idx adalah list tempat penyimpanan index elemen terkecil
  5. untuk setiap $i\in\{1,2,...,n\}$
     • jika lista[i]! sama dengan mini
       • tambahkan i kepada idx
  6. kembalikan idx

In [ ]:

def maks(a,b):  
    #input a,b bilangan real
    #output nilai terbesar
    return a if (a>b) else b;

def mins(a,b):  
    #input a,b bilangan real
    #output nilai terkecil
    return a if (a<b) else b;

def hitung_jarak(kata1,kata2):
  #input string kata1 dan kata2
  #output integer, jarak kata1 dan kata2 
  jarak=0
  for i in range(mins(len(kata1),len(kata2))):
    if kata1[i]!=kata2[i]:
      jarak=jarak+1
  return jarak+ (maks(len(kata1),len(kata2))-mins(len(kata1),len(kata2)))

def mins_list(lista):
    #input list bilangan bulat   
    #output elemen terkecil dari list 
    mini=lista[0]
    for i in lista:
      if i<mini:
        mini=i 
    return mini

def index_min(lista):
    #input list bilangan
    #output list index elemen terkecil
    idx=[]
    mini=mins_list(lista)
    for i in range(len(lista)):
      if mini == lista[i]:
        idx.append(i)
    return idx



L=["ku","pejamkan","mata","ini","mencoba","tuk","melupakan",
   "segala","kenangan", "indah", "tentang", "dirimu", "tentang", "mimpiku", 
   "semakin", "aku", "mencoba", "bayangmu", "semakin", "nyata", 
   "entah", "dimana", "dirimu", "berada", 
   "hampa", "terasa", "hidupku", "tanpa", "dirimu",
   "apakah", "di", "sana", "kau", "rindukan", "aku",
   "seperti", "diriku", "yang", "selalu", "merindukan", "kamu"]
simpan_jarak=[]
print("Masukkan kata yang ingin dicek")
cek_kata=input()
for i in range(len(L)):
  simpan_jarak.append(hitung_jarak(cek_kata,L[i]))

print("Kata pada List yang terdekat dengan",cek_kata,"dengan jarak terkecil",hitung_jarak(cek_kata,L[0]),"adalah")
for i in index_min(simpan_jarak):
  print("-",L[i])

Masukkan kata yang ingin dicek
ridwan
Kata pada List yang terdekat dengan ridwan dengan jarak terkecil 6 adalah
- indah
- tentang
- dirimu
- tentang
- nyata
- dimana
- dirimu
- hampa
- hidupku
- tanpa
- dirimu
- apakah
- di
- diriku

Soal nomor 3¶

Misalkan matriks $A$ berukuran $\left(m,n\right)$, $A=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&a_{1,4}&\cdots&a_{1,n-1}&a_{1,n} \\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&a_{2,4}&\cdots&a_{2,n-1}&a_{2,n} \\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\a_{m-1,1}&a_{m-1,2}&a_{m-1,3}&a_{m-1,4}&\cdots&a_{m-1,n-1}&a_{m-1,n} \\a_{m,1}&a_{m,2}&a_{m,3}&a_{m,4}&\cdots&a_{m,n-1}&a_{m,n}\end{bmatrix}$, dengan $m,n$ adalah bilangan genap

Buatlah matriks $B$ yang berukuran $\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)$, dengan elemen-elemen matriks $B$ adalah determinan dari submatriks berukuran $(2,2)$ dari matriks A.

$B=\begin{bmatrix}det\left(\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{bmatrix}\right)&det\left(\begin{bmatrix}a_{1,3}&a_{1,4}\\a_{2,3}&a_{2,4}\end{bmatrix}\right)&\cdots&det\left(\begin{bmatrix}a_{1,n-1}&a_{1,n}\\a_{2,n-1}&a_{2,n}\end{bmatrix}\right) \\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots& \\det\left(\begin{bmatrix}a_{m-1,1}&a_{m-1,2}\\a_{m,1}&a_{m,2}\end{bmatrix}\right)&det\left(\begin{bmatrix}a_{m-1,3}&a_{m-1,4}\\a_{m,3}&a_{m,4}\end{bmatrix}\right)&\cdots&det\left(\begin{bmatrix}a_{m-1,n-1}&a_{m-1,n}\\a_{m,n-1}&a_{m,n}\end{bmatrix}\right) \end{bmatrix}$

Buatlah algoritma untuk membuat matriks B

Jawaban Soal Nomor 3 Algoritma Submatriks

• Deskripsi : Algoritma membuat submatriks
• Masukkan : Matriks berukuran m,n dengan m,n genap
• Keluaran : submatriks berukuran m/2,n/2
• Langkah-langkah :
  1. Masukkan matriks A berukruan m,n.
  2. Buat matriks B berukuran m/2,n/2, sementara isi elemennya dengan 1.
  3. untuk setiap $i\in\{0,1,2,...,(m/2-1)\}$
     • untuk setiap $j\in \{0,1,2,...,(n/2-1)\} $
       • isi elemen B[i][j] = A[2*i][2*j] `A[2i+1][2j+1]-A[2i+1][2j]` A[2*i][2*j+1]
  4. Keluarkan matriks B

In [ ]:

import numpy as np
import random
random.seed(10)
print("Program Submatriks 1/4")
print("Masukkan ukuran baris matriks A (bilangan genap), m=") ; m=int(input())
print("Masukkan ukuran kolom matriks A (bilangan genap), n=") ; n=int(input())
A = np.array([[random.randrange(0, 100, 1) for j in range(n)] for i in range(m)])
print("Matriks A=") ; print(A)
B = np.array([[0 for j in range(int(n/2))] for i in range(int(m/2))])
for i in range(int(m/2)):
  for j in range(int(n/2)):
    B[i][j]=(A[2*i][2*j]*A[2*i+1][2*j+1]-A[2*i+1][2*j]*A[2*i][2*j+1])/4
print("Matriks B=") ; print(B)

Program Submatriks 1/4
Masukkan ukuran baris matriks A (bilangan genap), m=
4
Masukkan ukuran kolom matriks A (bilangan genap), n=
6
Matriks A=
[[73  4 54 61 73  1]
 [26 59 62 35 83 20]
 [ 4 66 62 41  9 31]
 [95 46  5 53 17 77]]
Matriks B=
[[ 1050  -473   344]
 [-1521   770    41]]

Soal Nomor 4¶

Misalkan terdapat sebuah deret $a_1+a_2+a_3+...$ dengan

• $a_1=1$,
• $a_2=1+r$,
• $a_3=1+r+r^2$, ...,
• $a_n=1+r+r^2+...+r^n$ dengan $|r|<1$
• Bentuk rekursif dari $a_n=a_{n-1}+r^n$

Buatlah program menentukan $a_n$ dalam bentuk fungsi rekursif.

Input dari program adalah rasio $r$ dan suku $n$.

In [ ]:

#Menghitung geometri dengan fungsi rekursif
def aa(r,n):
  if(n==1):
    return 1
  else:
    return aa(r,n-1)+r**(n-1)

print("Masukkan rasio r")
r=float(input())
print("Masukkan suku ke-n")
n=int(input())
print("Hasil =",aa(r,n))

Masukkan rasio r
0.5
Masukkan suku ke-n
8
Hasil = 1.9921875

Soal Nomor 4 (b)¶

Misalkan terdapat sebuah deret $a_1+a_2+a_3+...$ dengan

• $a_1=1$,
• $a_2=1+r$,
• $a_3=1+r+r^2$, ...,
• $a_n=1+r+r^2+...+r^n$ dengan $|r|<1$
• Bentuk rekursif dari $a_n=a_{n-1}+r^n$

Misalkan $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ adalah jumlahan deret tersebut sampai suku ke-$n$. Bentuk Rekursifnya adalah $S_n=S_{n-1}+a_n$
(a). Buatlah program menentukan $a_n$ dalam bentuk fungsi rekursif.
(b). Buatlah program menentukan $S_n$ dalam bentuk fungsi rekursif, dengan memanfaatkan fungsi rekursif apda nomor (a).

Input dari program adalah rasio $r$ dan suku $n$.

In [ ]:

#Menghitung geometri dengan fungsi rekursif
def aa(r,n):
  if(n==1):
    return 1
  else:
    return aa(r,n-1)+r**(n-1)

def ss(r,n):
  if(n==1):
    return 1
  else:
    return ss(r,n-1)+aa(r,n)

print("Masukkan rasio r")
r=float(input())
print("Masukkan suku ke-n")
n=int(input())
print("Hasil =",aa(r,n))
print("Hasil S =",ss(r,n))

Masukkan rasio r
0.5
Masukkan suku ke-n
8
Hasil = 1.9921875
Hasil S = 14.0078125